La fonction linéaire
Découvrir les fonctions de la forme f(x) = ax.
Introduction
1 kg de pommes coûte 2,50 €. Combien coûtent 3 kg ? 7,50 €. Et 10 kg ? 25 €. Le prix est proportionnel à la masse. Cette situation se modélise par une fonction très simple, dont la représentation graphique est une droite passant par l’origine : la fonction linéaire.
L'essentiel à retenir
Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x) = ax, où a est un nombre fixé appelé coefficient.
Elle modélise une situation de proportionnalité : a est le coefficient de proportionnalité.
Sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère ; a est son coefficient directeur.
Explication
Dans une situation de proportionnalité, on passe d’une grandeur à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Si le prix au kilo est 2,50 €, le prix p de x kilos est p(x) = 2,5x. C’est une fonction linéaire de coefficient 2,5.
Pour calculer une image, on multiplie x par a : si f(x) = −3x, alors f(4) = −12. Pour trouver un antécédent, on divise par a : l’antécédent de 15 par f(x) = 5x est 15 ÷ 5 = 3.
Pour déterminer une fonction linéaire, il suffit de connaître un nombre et son image. Si f est linéaire et f(4) = 10, alors a = 10 ÷ 4 = 2,5, donc f(x) = 2,5x.
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine O, car f(0) = a × 0 = 0. Pour la tracer, il suffit de placer l’origine et un autre point, par exemple le point de coordonnées (1 ; a).
Le coefficient a indique l’inclinaison de la droite. Si a est positif, la droite « monte » de gauche à droite ; si a est négatif, elle « descend ». Plus a est grand en valeur absolue, plus la droite est inclinée. Quand on avance de 1 unité vers la droite, on monte (ou on descend) de a unités.
Les pourcentages sont des fonctions linéaires : augmenter un prix de 20 %, c’est le multiplier par 1,2, donc appliquer f(x) = 1,2x. Le diminuer de 30 %, c’est le multiplier par 0,7.
Exemples
f(x) = 4x : f(3) = 12 ; l’antécédent de 20 est 5.
Une voiture roule à 80 km/h : d(t) = 80t est linéaire.
f linéaire avec f(6) = −9 : a = −9 ÷ 6 = −1,5, donc f(x) = −1,5x.
Une baisse de 25 % : f(x) = 0,75x ; un article à 40 € coûte 30 €.
La droite de f(x) = 2x passe par O(0 ; 0) et A(1 ; 2).
Méthode
1. Je vérifie que la fonction est de la forme ax (pas de terme constant).
2. Je calcule une image en multipliant par a.
3. Je calcule un antécédent en divisant par a.
4. Pour trouver a, je divise une image par son antécédent.
5. Pour tracer la droite, je place l’origine et le point (1 ; a) ou un autre point.
Attention
f(x) = 3x + 2 n’est pas une fonction linéaire, car sa droite ne passe pas par l’origine (f(0) = 2). Une fonction linéaire n’a jamais de terme constant : sa formule est uniquement « a × x ».
Résumé de la notion
Une fonction linéaire s’écrit f(x) = ax. Elle modélise une situation de proportionnalité. Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine, dont l’inclinaison dépend du coefficient a.
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