La fonction affine
Découvrir les fonctions de la forme f(x) = ax + b.
Introduction
Une salle de sport propose un abonnement : 20 € d’inscription, puis 8 € par séance. Le prix total n’est pas proportionnel au nombre de séances, à cause des 20 € de départ. Pourtant, sa représentation est une droite. Cette situation se modélise par une fonction affine.
L'essentiel à retenir
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont deux nombres fixés.
Sa représentation graphique est une droite ; a est le coefficient directeur, b est l’ordonnée à l’origine.
Une fonction linéaire est une fonction affine particulière, avec b = 0.
Explication
Pour l’abonnement de l’introduction, le prix pour x séances est p(x) = 8x + 20. Le nombre 8 est le coût par séance : c’est le coefficient a. Le nombre 20 est le coût fixe : c’est b. Pour 5 séances, p(5) = 8 × 5 + 20 = 60 €.
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b), car f(0) = b : c’est pourquoi b s’appelle l’ordonnée à l’origine. Pour tracer la droite, on calcule deux images et on place les deux points, puis on vérifie avec un troisième.
Le coefficient directeur a indique la pente. Quand x augmente de 1, f(x) augmente de a. Si a est positif, la fonction est croissante ; si a est négatif, elle est décroissante ; si a = 0, la fonction est constante et sa droite est horizontale.
On peut retrouver une fonction affine à partir de deux points. Si f(2) = 7 et f(5) = 16, alors a = (16 − 7) ÷ (5 − 2) = 9 ÷ 3 = 3. Puis on trouve b avec f(2) = 3 × 2 + b = 7, donc b = 1. Ainsi f(x) = 3x + 1.
Les fonctions affines permettent de comparer des offres. Si une autre salle propose 12 € par séance sans inscription, son prix est q(x) = 12x. On cherche quand les deux offres coûtent le même prix en résolvant 8x + 20 = 12x, soit x = 5. Au-delà de 5 séances, l’abonnement est plus avantageux. Graphiquement, c’est le point d’intersection des deux droites.
Exemples
f(x) = 2x − 3 : f(0) = −3, f(4) = 5 ; la droite passe par (0 ; −3) et (4 ; 5).
g(x) = −x + 6 est décroissante, car a = −1.
Taxi : 4 € de prise en charge + 1,50 € par km → t(x) = 1,5x + 4.
f(1) = 5 et f(3) = 11 : a = 6 ÷ 2 = 3 et b = 2, donc f(x) = 3x + 2.
h(x) = 7 est constante : sa droite est horizontale.
Méthode
1. J’identifie a (coefficient de x) et b (terme constant).
2. Je calcule des images en remplaçant x.
3. Pour tracer, je place le point (0 ; b) et un autre point calculé.
4. Pour retrouver a à partir de deux points, je calcule (différence des images) ÷ (différence des x).
5. Je retrouve b en remplaçant un point dans f(x) = ax + b.
Attention
Une fonction affine n’est pas proportionnelle (sauf si b = 0) : si l’on double le nombre de séances, le prix ne double pas. Ne multiplie pas une image pour en trouver une autre : recalcule toujours avec la formule.
Résumé de la notion
Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b. Sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur a et d’ordonnée à l’origine b. Si a est positif, elle est croissante ; si a est négatif, décroissante. Les fonctions linéaires sont des fonctions affines avec b = 0.
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