Qu'est-ce qu'une fonction ?
Comprendre la notion de fonction et le vocabulaire associé.
Introduction
Le prix d’un plein dépend du nombre de litres, la distance parcourue dépend du temps, la facture de téléphone dépend des minutes consommées. Chaque fois qu’une grandeur dépend d’une autre, on peut la décrire par une fonction. C’est un outil central des mathématiques du lycée.
L'essentiel à retenir
Une fonction f est un procédé qui, à un nombre x, associe un unique nombre noté f(x).
f(x) est l’image de x par f ; x est un antécédent de f(x).
Une fonction peut être donnée par une formule, un tableau de valeurs ou une représentation graphique.
Explication
On peut voir une fonction comme une machine : on y fait entrer un nombre x, elle applique un programme de calcul et elle donne en sortie un nombre f(x). La notation f : x ↦ 3x + 1 se lit « f est la fonction qui à x associe 3x + 1 ».
Calculer une image est simple : on remplace x par la valeur donnée dans la formule. Si f(x) = x² − 2, alors f(3) = 3² − 2 = 9 − 2 = 7. On dit que 7 est l’image de 3, et que 3 est un antécédent de 7.
Chaque nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun. Pour f(x) = x² − 2, l’image de 3 et l’image de −3 valent toutes deux 7 : le nombre 7 a donc deux antécédents, 3 et −3.
Un tableau de valeurs présente des nombres x sur la première ligne et leurs images f(x) sur la seconde. On y lit directement les images et les antécédents.
La représentation graphique d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) dans un repère. On place x en abscisse et f(x) en ordonnée. Pour lire l’image d’un nombre sur un graphique, on part de ce nombre sur l’axe des abscisses, on monte ou on descend jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée. Pour lire un antécédent, on fait le chemin inverse : on part de l’axe des ordonnées, on rejoint la courbe horizontalement, puis on lit l’abscisse.
Les tableurs et les calculatrices permettent de calculer rapidement de nombreuses images et de tracer la courbe d’une fonction.
Exemples
f(x) = 2x + 5 : f(4) = 2 × 4 + 5 = 13 ; 13 est l’image de 4.
g(x) = x² : g(−5) = 25 et g(5) = 25 ; 25 a deux antécédents.
Tableau : pour x = 0, 1, 2, la fonction h(x) = 10 − x donne 10, 9, 8.
Sur un graphique, si le point (2 ; 6) est sur la courbe, alors f(2) = 6.
La distance d parcourue à 90 km/h en t heures : d(t) = 90t.
Méthode
1. Pour calculer une image, je remplace x par sa valeur dans la formule et je calcule.
2. Pour trouver un antécédent, je résous l’équation f(x) = valeur donnée.
3. Dans un tableau, je lis l’image sous x, ou l’antécédent au-dessus de f(x).
4. Sur un graphique, je lis l’image en partant de l’axe des abscisses.
5. Je rédige avec le vocabulaire : « l’image de … par f est … ».
Attention
Ne confonds pas image et antécédent ! Dans f(2) = 6, 2 est l’antécédent et 6 est l’image. Retiens : l’antécédent est ce qui entre dans la machine, l’image est ce qui en sort. Sur un graphique, l’antécédent se lit en abscisse, l’image en ordonnée.
Résumé de la notion
Une fonction associe à chaque nombre x une unique image f(x). x est un antécédent de f(x). Une fonction se donne par une formule, un tableau ou un graphique, où l’on lit l’antécédent en abscisse et l’image en ordonnée.
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