Énoncé du théorème de Pythagore
Découvrir la relation entre les côtés d'un triangle rectangle.
Introduction
Il y a plus de 2 500 ans, les mathématiciens de l’Antiquité avaient découvert une relation étonnante entre les côtés d’un triangle rectangle. Elle porte le nom du savant grec Pythagore. Aujourd’hui encore, elle sert aux architectes, aux charpentiers, aux géomètres et même aux programmeurs de jeux vidéo.
L'essentiel à retenir
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit ; c’est le plus long des trois côtés.
Théorème de Pythagore : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC².
Autrement dit, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Explication
Un triangle rectangle possède un angle droit. Les deux côtés qui forment cet angle droit sont appelés les côtés de l’angle droit. Le troisième côté, situé en face de l’angle droit, est l’hypoténuse. Pour la repérer, on cherche le sommet de l’angle droit : l’hypoténuse est le côté qui ne passe pas par ce sommet.
Le carré d’un nombre est ce nombre multiplié par lui-même : 5² = 5 × 5 = 25. Géométriquement, c’est l’aire d’un carré dont le côté mesure ce nombre.
Le théorème de Pythagore affirme que, dans un triangle rectangle, l’aire du carré construit sur l’hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés. On peut le vérifier avec un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Pour écrire correctement l’égalité, il faut nommer le triangle et préciser où se trouve l’angle droit. Si le triangle DEF est rectangle en E, l’hypoténuse est [DF] et l’on écrit : DF² = DE² + EF². L’hypoténuse est toujours seule d’un côté du signe égal.
Ce théorème ne s’applique qu’aux triangles rectangles. C’est même sa condition d’utilisation : dans une démonstration, on commence toujours par rappeler que le triangle est rectangle, et en quel sommet.
On raconte que les arpenteurs égyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds, régulièrement espacés, pour tracer des angles droits sur le terrain : en la tendant pour former un triangle de côtés 3, 4 et 5 intervalles, ils obtenaient un angle droit. Les tablettes babyloniennes montrent aussi que ces relations étaient connues bien avant Pythagore.
Exemples
Triangle MNP rectangle en N : MP² = MN² + NP².
Triangle 6-8-10 : 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10².
Triangle 5-12-13 : 25 + 144 = 169 = 13².
Dans un rectangle de 9 cm sur 12 cm, la diagonale vérifie d² = 81 + 144 = 225.
Un écran « 32 pouces » désigne la longueur de sa diagonale, l’hypoténuse du triangle formé par la largeur et la hauteur.
Méthode
1. Je vérifie que le triangle est rectangle et je repère le sommet de l’angle droit.
2. J’identifie l’hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit.
3. J’écris l’égalité : hypoténuse² = côté1² + côté2².
4. Je remplace par les longueurs connues.
5. Je rédige : « Le triangle … est rectangle en …, donc d’après le théorème de Pythagore… ».
Attention
L’hypoténuse doit toujours être seule dans l’égalité ! Si ABC est rectangle en A, on écrit BC² = AB² + AC², et non AB² = BC² + AC². Et attention : 3² ne vaut pas 6 mais 9.
Résumé de la notion
Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Si ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Ce théorème ne s’applique qu’aux triangles rectangles.
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