Calculer une longueur avec Pythagore
Utiliser le théorème pour calculer une longueur inconnue.
Introduction
Une échelle de 5 m est posée contre un mur, son pied à 1,4 m du mur : à quelle hauteur touche-t-elle le mur ? Un écran mesure 80 cm de large et 45 cm de haut : quelle est sa diagonale ? Le théorème de Pythagore permet de répondre en calculant une longueur inconnue.
L'essentiel à retenir
Dans un triangle rectangle, si l’on connaît deux longueurs, on peut calculer la troisième grâce au théorème de Pythagore.
Pour l’hypoténuse : on additionne les carrés des deux autres côtés, puis on prend la racine carrée.
Pour un côté de l’angle droit : on soustrait le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée.
Explication
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré vaut a. On la note √a. Par exemple, √49 = 7 car 7² = 49. Pour les nombres qui ne sont pas des carrés parfaits, on utilise la touche √ de la calculatrice et on donne une valeur arrondie.
Premier cas : on cherche l’hypoténuse. Soit ABC rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. On écrit BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Donc BC = √100 = 10 cm.
Second cas : on cherche un côté de l’angle droit. Soit EFG rectangle en F avec EG = 13 cm (hypoténuse) et EF = 5 cm. On écrit EG² = EF² + FG², donc 13² = 5² + FG², soit 169 = 25 + FG². On en déduit FG² = 169 − 25 = 144, et FG = √144 = 12 cm.
Pour l’échelle de l’introduction : l’échelle est l’hypoténuse (5 m), la distance au mur est un côté (1,4 m). Hauteur² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04. La hauteur vaut √23,04 = 4,8 m.
Il faut faire attention aux unités : toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant de calculer. Et on vérifie toujours que le résultat est cohérent : l’hypoténuse doit être le plus long côté.
La rédaction est essentielle : on cite la propriété, on écrit l’égalité littérale, on remplace par les valeurs, on calcule et on conclut avec l’unité.
Exemples
Écran de 80 cm sur 45 cm : d² = 6 400 + 2 025 = 8 425, d = √8 425 ≈ 91,8 cm.
Triangle rectangle de côtés 7 cm et 24 cm : hypoténuse = √(49 + 576) = √625 = 25 cm.
Hypoténuse 10 cm, un côté 6 cm : l’autre côté = √(100 − 36) = √64 = 8 cm.
Carré de côté 4 cm : diagonale = √(16 + 16) = √32 ≈ 5,7 cm.
Rampe d’accès : longueur 3 m, hauteur 0,5 m → base = √(9 − 0,25) ≈ 2,96 m.
Méthode
1. Je fais un schéma et je code l’angle droit.
2. J’identifie l’hypoténuse et la longueur cherchée.
3. J’écris l’égalité de Pythagore avec les lettres.
4. Je remplace, je calcule le carré cherché (addition ou soustraction).
5. Je prends la racine carrée et je donne le résultat arrondi avec l’unité.
Attention
Pour calculer un côté de l’angle droit, il faut soustraire et non additionner ! Si tu additionnes, tu obtiens un nombre plus grand que l’hypoténuse, ce qui est impossible. Vérifie toujours que l’hypoténuse reste le plus long côté.
Résumé de la notion
Grâce au théorème de Pythagore, on calcule une longueur dans un triangle rectangle. Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés ; pour un côté de l’angle droit, on soustrait. On termine en prenant la racine carrée.
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