Addition de nombres relatifs
Additionner des nombres positifs et négatifs.
Introduction
Un plongeur se trouve à −12 m et remonte de 5 m : à quelle profondeur est-il ? Le thermomètre indique −3 °C et la température baisse de 4 degrés : combien fait-il ? Pour répondre, il faut savoir additionner des nombres relatifs.
L'essentiel à retenir
Pour additionner deux nombres de même signe, on garde ce signe et on additionne les distances à zéro.
Pour additionner deux nombres de signes contraires, on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.
La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.
Explication
On peut comprendre l’addition des relatifs grâce aux gains et aux pertes. Un nombre positif représente un gain, un nombre négatif une perte. Si je gagne 5 points puis 3 points, j’ai gagné 8 points : (+5) + (+3) = +8. Si je perds 5 points puis 3 points, j’ai perdu 8 points : (−5) + (−3) = −8.
Si je gagne 5 points et que j’en perds 3, le gain l’emporte et il me reste 2 points : (+5) + (−3) = +2. Si je gagne 3 points et que j’en perds 5, la perte l’emporte : (+3) + (−5) = −2. On prend donc le signe du nombre « le plus fort », c’est-à-dire celui qui a la plus grande distance à zéro, puis on calcule la différence entre les deux distances à zéro.
Sur une droite graduée, ajouter un nombre positif revient à avancer vers la droite, ajouter un nombre négatif revient à reculer vers la gauche. Pour (−3) + (+7), on part de −3 et on avance de 7 graduations : on arrive à +4.
Si l’on ajoute deux nombres opposés, gains et pertes se compensent exactement : (+9) + (−9) = 0.
Pour calculer une longue somme, on peut regrouper astucieusement les termes : on additionne tous les positifs d’un côté, tous les négatifs de l’autre, puis on calcule le résultat final. On peut aussi éliminer d’abord les opposés.
Dans l’écriture, on met des parenthèses autour des nombres relatifs pour éviter d’avoir deux signes côte à côte : on écrit (−4) + (−6) et non −4 + −6.
Exemples
(+7) + (+4) = +11 : même signe, on additionne.
(−8) + (−2) = −10 : même signe négatif.
(−12) + (+5) = −7 : le plongeur remonte à 7 m de profondeur.
(−3) + (−4) = −7 : il fait −7 °C.
(+6) + (−11) + (+9) + (−4) = (+15) + (−15) = 0.
Méthode
1. Je regarde les signes des deux nombres.
2. S’ils sont identiques, je garde le signe et j’additionne les distances à zéro.
3. S’ils sont différents, je repère celui qui a la plus grande distance à zéro et je garde son signe.
4. Je soustrais la plus petite distance à zéro de la plus grande.
5. Je vérifie mentalement avec l’image des gains et des pertes.
Attention
Pour (−9) + (+4), ne réponds pas −13 ! Les signes sont différents : on soustrait les distances à zéro (9 − 4 = 5) et on garde le signe du plus grand en distance à zéro, ici −. Le résultat est −5.
Résumé de la notion
Pour additionner deux relatifs de même signe, on garde le signe et on additionne les distances à zéro. Pour deux relatifs de signes contraires, on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro. La somme de deux opposés vaut zéro.
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