Soustraction de nombres relatifs
Transformer une soustraction en addition pour calculer plus facilement.
Introduction
À 6 h, il faisait −4 °C ; à midi, il fait +9 °C. De combien de degrés la température a-t-elle augmenté ? Pour calculer un écart entre deux nombres relatifs, on utilise la soustraction. Et pour soustraire des relatifs, il existe une règle simple : on se ramène à une addition.
L'essentiel à retenir
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé : a − b = a + (opposé de b).
Exemple : (+3) − (+8) = (+3) + (−8) = −5 et (+3) − (−8) = (+3) + (+8) = +11.
La différence b − a permet de calculer l’écart entre deux valeurs, par exemple une variation de température.
Explication
Pourquoi soustraire revient-il à ajouter l’opposé ? Reprenons l’image des gains et des pertes. Retirer un gain de 8 points, c’est la même chose que subir une perte de 8 points : − (+8) équivaut à + (−8). Et retirer une perte, c’est la même chose qu’obtenir un gain : si l’on annule une amende de 8 €, on se retrouve avec 8 € de plus. Donc − (−8) équivaut à + (+8).
Pour calculer une différence, on suit donc deux étapes. D’abord, on transforme la soustraction en addition en changeant le signe du nombre que l’on soustrait. Ensuite, on applique les règles de l’addition des relatifs.
Calculons (−5) − (−12). On transforme : (−5) + (+12). Les signes sont différents, on prend le signe du nombre de plus grande distance à zéro (+) et on calcule 12 − 5 = 7. Résultat : +7.
Cette règle est très utile pour calculer des écarts. L’écart entre deux températures se calcule en faisant « température d’arrivée − température de départ ». Pour l’exemple de l’introduction : (+9) − (−4) = (+9) + (+4) = +13. La température a augmenté de 13 degrés. Sur un thermomètre, on le vérifie en comptant les graduations de −4 à +9.
Une expression qui contient plusieurs additions et soustractions s’appelle une somme algébrique. On transforme d’abord toutes les soustractions en additions, puis on regroupe les positifs et les négatifs. On peut aussi simplifier l’écriture en supprimant les parenthèses et les signes + d’addition : (+5) + (−3) s’écrit simplement 5 − 3.
Exemples
(+6) − (+10) = (+6) + (−10) = −4.
(−7) − (+2) = (−7) + (−2) = −9.
(−7) − (−2) = (−7) + (+2) = −5.
(+4) − (−11) = (+4) + (+11) = +15.
Le sommet est à 2 100 m, le lac à −30 m : la différence d’altitude est 2 100 − (−30) = 2 130 m.
Méthode
1. Je recopie le premier nombre sans le changer.
2. Je remplace le signe « − » de la soustraction par « + ».
3. Je remplace le nombre soustrait par son opposé.
4. J’applique la règle de l’addition des relatifs.
5. Pour un écart, je calcule toujours « arrivée − départ ».
Attention
On ne change que le signe du nombre que l’on soustrait, jamais celui du premier nombre ! (−5) − (+3) devient (−5) + (−3) = −8, et non (+5) + (−3). Et attention : soustraire un négatif fait augmenter le résultat.
Résumé de la notion
Soustraire un nombre relatif, c’est additionner son opposé : a − b = a + (−b). On transforme d’abord la soustraction en addition, puis on applique les règles de l’addition. Cette méthode permet de calculer des écarts, comme une variation de température.
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