Multiplication des nombres décimaux
Multiplier un nombre décimal par un entier ou par un autre décimal.
Introduction
Trois cahiers à 2,45 € chacun, 1,5 kg de pommes à 2,20 € le kilo, un terrain de 12,5 m sur 8,4 m : pour trouver un prix ou une aire, il faut multiplier des nombres décimaux. Bonne nouvelle, la méthode repose sur la multiplication des entiers que tu connais déjà.
L'essentiel à retenir
Pour multiplier deux décimaux, on effectue la multiplication sans tenir compte des virgules.
Puis on place la virgule dans le résultat : il a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 décale chaque chiffre de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche ; multiplier par 0,1, 0,01 ou 0,001 le décale vers la droite.
Explication
Calculons 3,4 × 2,15. On multiplie d’abord les entiers : 34 × 215 = 7 310. Or 3,4 = 34 ÷ 10 et 2,15 = 215 ÷ 100. Le produit a donc été rendu 10 × 100 = 1 000 fois trop grand. On divise par 1 000 : 3,4 × 2,15 = 7,310 = 7,31.
C’est pourquoi on compte les décimales : 3,4 en a une, 2,15 en a deux, le produit en a trois. On place la virgule en comptant trois chiffres à partir de la droite. Dans la multiplication posée, on n’aligne pas les virgules : on aligne les chiffres par la droite, comme pour les entiers.
Multiplier par 10, 100 ou 1 000 est un cas particulier très utile. Chaque chiffre prend une valeur 10, 100 ou 1 000 fois plus grande : 4,725 × 100 = 472,5. On dit souvent qu’on « déplace la virgule », mais ce sont en réalité les chiffres qui changent de rang. Si besoin, on complète par des zéros : 3,2 × 1 000 = 3 200.
Multiplier par 0,1 revient à prendre le dixième d’un nombre, donc à le diviser par 10 : 56 × 0,1 = 5,6. Ainsi, multiplier par un nombre plus petit que 1 donne un résultat plus petit que le nombre de départ. C’est souvent surprenant, mais logique : prendre 0,5 fois une quantité, c’est en prendre la moitié.
Un ordre de grandeur permet de contrôler la position de la virgule : 3,4 × 2,15 ≈ 3 × 2 = 6, donc 7,31 est plausible.
Exemples
2,45 × 3 = 7,35 : trois cahiers coûtent 7,35 €.
1,5 × 2,20 : 15 × 220 = 3 300, trois décimales au total, donc 3,300 = 3,3 €.
12,5 × 8,4 : 125 × 84 = 10 500, deux décimales, donc 105 m².
0,6 × 0,3 = 0,18 (6 × 3 = 18, deux décimales).
7,08 × 1 000 = 7 080 ; 450 × 0,01 = 4,5.
Méthode
1. Je calcule un ordre de grandeur.
2. Je pose la multiplication en alignant les chiffres à droite, sans m’occuper des virgules.
3. Je calcule le produit comme avec des entiers.
4. Je compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
5. Je place la virgule dans le résultat, puis je compare avec mon estimation.
Attention
Ne confonds pas avec l’addition : dans une multiplication, on n’aligne pas les virgules. Et attention au résultat de 0,2 × 0,4 : on obtient 0,08 et non 0,8, car il faut deux chiffres après la virgule.
Résumé de la notion
Pour multiplier des décimaux, on multiplie comme des entiers, puis on place la virgule pour que le produit ait autant de décimales que les deux facteurs réunis. Multiplier par 10, 100, 1 000 agrandit le nombre ; multiplier par 0,1, 0,01, 0,001 le réduit.
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